Convergence de κενοτάϕιον : kenos (vide) et taphos (tombeau)

Convergence---------------------

Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :

en géologie, on nomme convergence le rapprochement de deux plaques tectoniques ;
en informatique,
la convergence numérique est un phénomène qui tend à fusionner l'information, le support et le transport,
la convergence d'un algorithme est liée à la convergence mathématique des itérés,
Convergence est une messagerie Web gérée par Sun (groupe Oracle) ;
en météorologie, la convergence désigne une région de l'atmosphère où les flux d'air de différentes directions se rejoignent pour créer une accumulation de masse qui mène éventuellement à un mouvement vertical d'où la formation de nuages et de précipitations ;
en biologie, on parle de convergence évolutive ou d'évolution convergente, lorsque plusieurs espèces ont acquis des adaptations semblables, en réponse à un même milieu, et ce de manière indépendante ( ex: la nageoire du requin et la nageoire du dauphin sont des convergences évolutives) ;
en économie, on parle de critères de convergence à propos des « Critères de Maastricht » ;
en mathématiques, la convergence est une propriété fondamentale des suites dans les espaces topologiques, et des séries numériques, ou plus généralement des séries dans les groupes topologiques (abéliens). Une suite u est dite convergente vers un point l (pas nécessairement unique) dans un espace topologique X lorsque tout voisinage de l contient tous les termes de la suite à partir d'un rang suffisamment grand ; une série est convergente lorsque la suite de ses sommes partielles l'est. Ces notions se spécialisent dans certains espaces :
convergence simple,
convergence inconditionnelle,
convergence absolue,
convergence uniforme,
convergence normale,
En probabilité : convergence de variables aléatoires,
Certains théorèmes comportent le mot convergence comme le théorème de convergence monotone ;
en sport, le Circuit de l'étoile est également appelée la Convergence cycliste ;
en politique :
Convergence est un parti politique mexicain,
Convergences, anciennement appelée Convergences 2015, est une plateforme de réflexion sur la lutte contre la pauvreté et les inégalités ;
en communication, la convergence médiatique consiste à faire passer un même contenu médiatique sur plusieurs médias.

Tombeau de Dante

« Dantis poetae sepulcrum ».

L'intérieur, revêtu de marbre et de stucs, comporte un sarcophage de l'époque romaine sur lequel figure l'épitaphe en vers :

« Iura monarchie superos Phlaegetonta lacusque
lustrando cecini fata volverunt quousque
sed quia pars cessit melioribus hospita castris
actoremque suum petiit felicior astris
hic claudor Dantes patriis extorris ab oris
quem genuit parvi Florentia mater amoris »

— Bernardo Canaccio, 1366


« Les droits de la monarchie, les cieux et les eaux de Phlégéthon1
en visitant je chantais jusqu'à l'arrivée de mes destins mortels.
Mais vu que mon âme alla demeurer en de meilleurs endroits
et que encore plus béate rejoint parmi les étoiles son créateur,
ici est enfermé, (moi) Dante, exilé de la terre patrie,
qui généra Florence, mère peu aimante. »


Cénotaphe

Un cénotaphe — du grec κενοτάϕιον : kenos (vide) et taphos (tombeau) — est un monument funéraire qui ne contient pas de corps contrairement au mausolée, élevé à la mémoire d'une personne ou d'un groupe de personnes, et dont la forme rappelle celle d'un tombeau. Le Monument aux morts que l'on peut voir dans la plupart des villes et des villages est une forme de cénotaphe.
Cénotaphes célèbres

Le cénotaphe de Dante dans la basilique Santa Croce de Florence, Dante Alighieri étant inhumé à Ravenne (Tombeau de Dante).
Le Cénotaphe de Whitehall à Westminster à Londres
Le Panthéon de Paris contient quelques cénotaphes dont celui de Jean Moulin
Le Monument aux braves à Sherbrooke
La Pyramide d'Ahmôsis à Abydos
Le Monument commémoratif de guerre à Ottawa
Le Cénotaphe de Saint Louis au Musée national de Carthage
Le projet de cénotaphe pour Newton de Etienne-Louis Boullée, 1784
Le cénotaphe de Gioachino Rossini au cimetière du Père-Lachaise (division 4).
Le cénotaphe temporaire, érigé à Paris, sur les Champs-Elysées, à l'occasion des fêtes de la Victoire, en juillet 1919.
Le cénotaphe de Lemmy Kilmister dans l'enceinte du Hellfest, réalisé par un collectif d'artistes et le sculpteur Jimmix [archive], en 2016.

Voir aussi

Exhumations et profanations des tombes royales de la Basilique Saint-Denis
Mausolée
Mémorial
Mémorials de bords de route
Monument aux morts
Monuments aux morts pacifistes

Bibliographie

Sur les autres projets Wikimedia :

Cénotaphe, sur Wikimedia Commons cénotaphe, sur le Wiktionnaire

[article] « Cénotaphe » par Pierre-Yves Balut & Gaëlle Clavendier in Dictionnaire de la Mort sous la direction de Philippe Di Folco, collection « In Extenso », éd. Larousse, 2010, p. 198 (ISBN 978-2-03-584846-Cool.

En mathématiques, une série numérique réelle ou complexe ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} \sum u_{n} converge absolument si, par définition, la série des valeurs absolues (ou des modules) ∑ | u n | {\displaystyle \sum |u_{n}|} \sum |u_{n}| est convergente. Cette définition peut être étendue aux séries à valeurs dans un espace vectoriel normé et complet, soit un espace de Banach.

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RAPPORT DE
TAY
LA CHOUETTE EFFRAIE
AUX
SCÉNARISTES DES FUTURS MARVELS
ET
AUTRES S.F DES FUTURS SIÈCLES à VENIR

Espace de Banach

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, on appelle espace de Banach un espace vectoriel normé sur un sous-corps K de ℂ (en général, K = ℝ ou ℂ), complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie induite par sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel topologique. Les espaces de Banach possèdent de nombreuses propriétés qui font d'eux un outil essentiel pour l'analyse fonctionnelle. Ils doivent leur nom au mathématicien polonais Stefan Banach.

Caractérisation par les séries

Un espace vectoriel normé est un espace de Banach si et seulement si, dans cet espace, toute série absolument convergente est convergente1.
Exemples

Tout espace vectoriel de dimension finie sur ℝ (resp. ℂ) muni de n'importe quelle norme, par exemple une norme euclidienne (resp. hermitienne).
Pour tout ensemble non vide X et tout espace de Banach E, l'espace B(X, E) des applications bornées de X dans E, muni de la norme de la convergence uniforme.
Tout sous-espace vectoriel fermé d'un espace de Banach. Par exemple, si X est un espace topologique et E un espace de Banach : le sous-espace de B(X, E) des fonctions à la fois continues et bornées, en particulier l'espace C(K, E) des fonctions continues sur un espace compact K. (En fait, d'après le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki, tout espace de Banach est un sous-espace fermé d'un C(K, ℝ).)
Les espaces de Hilbert.
Plus généralement, pour 1 ≤ p ≤ ∞, l'espace Lp(X) des classes de fonctions mesurables (à valeurs réelles ou complexes) sur un espace mesuré X, et dont la puissance p-ième est intégrable (ou qui sont bornées, si p = ∞).
Tout espace vectoriel normé quotient d'un espace de Banach par un sous-espace fermé — grâce à la caractérisation par les séries ci-dessus. (En fait, tout espace de Banach séparable est un tel quotient de ℓ1.)

Théorème de l'application ouverte et ses variantes
Article détaillé : Théorème de Banach-Schauder.

Soient E et F deux espaces de Banach et f une application linéaire continue de E dans F.

Si f est surjective alors elle est ouverte, c'est-à-dire que l'image par f de tout ouvert de E est un ouvert de F.
Si f est bijective alors c'est un homéomorphisme.
La bijection linéaire continue associée à f, de E/ker(f) dans f(E), est un homéomorphisme si et seulement si f(E) est fermé dans F.
Théorème du graphe fermé : toute application linéaire de E dans F dont le graphe est fermé dans E×F est continue.

Propriété des fermés emboîtés
Article détaillé : Théorème des fermés emboités.

Comme tout espace métrique complet, un espace de Banach vérifie la propriété suivante :

Soit une suite décroissante de fermés non vides dont la suite des diamètres tend vers 0. Alors l'intersection des fermés est non vide et réduite à un singleton.

Cette propriété permet de démontrer que tout espace métrique complet (en particulier tout espace de Banach) est de Baire, et d'en déduire le théorème de Banach-Steinhaus ci-dessous.
Théorème de Banach-Steinhaus
Article détaillé : Théorème de Banach-Steinhaus.

Soient E {\displaystyle E} E un espace de Banach, F {\displaystyle F} F un espace vectoriel normé, ( u i ) i ∈ I {\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i\in I}} {\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i\in I}} une famille d'éléments de ℒ(E,F) et A {\displaystyle A} A l'ensemble des vecteurs x {\displaystyle x} x de E {\displaystyle E} E tels que sup i ∈ I ∥ u i ( x ) ∥ < + ∞ {\displaystyle \sup _{i\in I}\left\|u_{i}(x)\right\|<{+\infty }} {\displaystyle \sup _{i\in I}\left\|u_{i}(x)\right\|<{+\infty }}. Alors, ou bien A {\displaystyle A} A est maigre, c'est-à-dire réunion dénombrable d'ensembles rares (un ensemble étant rare si son adhérence est d'intérieur vide) et son complémentaire est dense, ou bien sup i ∈ I ∥ u i ∥ < + ∞ {\displaystyle \sup _{i\in I}\left\|u_{i}\right\|<{+\infty }} {\displaystyle \sup _{i\in I}\left\|u_{i}\right\|<{+\infty }} (où ∥ u i ∥ {\displaystyle \left\|u_{i}\right\|} {\displaystyle \left\|u_{i}\right\|} désigne la norme d'opérateur de u i {\displaystyle u_{i}} u_i). En particulier, si A = E {\displaystyle A=E} A=E, seule la seconde éventualité est possible.
Note

↑ Pour une démonstration, voir par exemple le chapitre « Espaces de Banach - Complétude » de la leçon « Espaces vectoriels normés » sur la Wikiversité.

Voir aussi
Bibliographie

Stefan Banach, Théorie des opérations linéaires [archive], Warszawa, 1932 (Monografie Matematyczne; 1) Zbl 0005.20901 [archive]
(en) Bernard Beauzamy, Introduction to Banach Spaces and their Geometry, North-Holland, 1985, 2e éd. (lire en ligne [archive])
N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Springer-Verlag, 1987
(en) William B. Johnson (de) et Joram Lindenstrauss, Handbook of the Geometry of Banach Spaces, vol. 1, Elsevier, 2001 (ISBN 978-0-08053280-6, lire en ligne [archive])
(en) M. I. Kadets (en) et B. M. Levitan (en), « Banach space », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne [archive])

Articles connexes

Application contractante
Base de Schauder
Dual topologique
Espace d'interpolation
Espace réflexif
Espace de Sobolev
Produit tensoriel topologique (en)
Propriété d'approximation
Théorème de Banach-Stone

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v · m
Analyse fonctionnelle
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v · m
Structures algébriques

En mathématiques, une série numérique réelle ou complexe ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} \sum u_{n} converge absolument si, par définition, la série des valeurs absolues (ou des modules) ∑ | u n | {\displaystyle \sum |u_{n}|} \sum |u_{n}| est convergente. Cette définition peut être étendue aux séries à valeurs dans un espace vectoriel normé et complet, soit un espace de Banach.

Lorsqu'elle est satisfaite, cette condition est suffisante pour assurer la convergence de la série ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} \sum u_{n} elle-même.

Par analogie, l'intégrale d'une fonction à valeurs réelles ou complexes converge absolument si, par définition, l'intégrale de la valeur absolue (ou du module) de la fonction est convergente (fonction dans L1).

La convergence absolue des séries ou des intégrales est étroitement liée à la sommabilité (des familles ou des fonctions) : elle implique des propriétés plus fortes que la simple convergence.

Sommaire

1 Série numérique absolument convergente
1.1 Comportement des séries à termes réels
1.2 Propriétés des séries absolument convergentes
2 Extension aux séries à valeurs vectorielles
3 Intégrale absolument convergente
4 Notes et références
5 Articles connexes

Série numérique absolument convergente

Une série à termes réels ou complexes ∑ a n {\displaystyle \sum a_{n}} \sum a_{n} converge absolument quand la série de terme général | a n | {\displaystyle |a_{n}|} |a_{n}| converge. Dans ce cas, la série ∑ a n {\displaystyle \sum a_{n}} \sum a_{n} converge elle aussi et l'inégalité triangulaire se généralise en

| ∑ n = 0 + ∞ a n | ≤ ∑ n = 0 + ∞ | a n | {\displaystyle \left|\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}\right|\leq \sum _{n=0}^{+\infty }|a_{n}|} \left|\sum _{{n=0}}^{{+\infty }}a_{n}\right|\leq \sum _{{n=0}}^{{+\infty }}|a_{n}|

Si la série est convergente, mais non absolument convergente, elle est dite semi-convergente.

Exemple
La série harmonique alternée ∑ n ≥ 1 ( − 1 ) n n {\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n}}{n}}} \sum _{{n\geq 1}}{\frac {(-1)^{n}}{n}} est semi-convergente.

Comportement des séries à termes réels

Dans le cas où on a affaire à une série de réels, le théorème précédent possède une démonstration élémentaire, qui apporte des informations supplémentaires sur les comportements possibles.

Si les termes a n {\displaystyle a_{n}} a_n de la série sont des réels, on peut séparer les termes positifs et négatifs. Il faut considérer pour cela les termes a n + {\displaystyle a_{n}^{+}} a_{n}^{+} partie positive et a n − {\displaystyle a_{n}^{-}} a_{n}^{-} partie négative du terme a n {\displaystyle a_{n}} a_n

a n + = max ( a n , 0 ) a n − = max ( − a n , 0 ) {\displaystyle a_{n}^{+}=\max(a_{n},0)\qquad a_{n}^{-}=\max(-a_{n},0)} a_{n}^{+}=\max(a_{n},0)\qquad a_{n}^{-}=\max(-a_{n},0)

Ces deux termes sont positifs, l'un est nul, et l'autre égal à la valeur absolue de a n {\displaystyle a_{n}} a_n. De sorte que

a n = a n + − a n − | a n | = a n + + a n − {\displaystyle a_{n}=a_{n}^{+}-a_{n}^{-}\qquad |a_{n}|=a_{n}^{+}+a_{n}^{-}} a_{n}=a_{n}^{+}-a_{n}^{-}\qquad |a_{n}|=a_{n}^{+}+a_{n}^{-}

Les séries ∑ a n + {\displaystyle \sum a_{n}^{+}} \sum a_{n}^{+} et ∑ a n − {\displaystyle \sum a_{n}^{-}} \sum a_{n}^{-} étant à termes positifs, leur suite des sommes partielles est croissante ; elle converge ou tend vers l'infini. Convergence absolue et semi-convergence peuvent être formulées à l'aide de ces deux séries.

Lorsque la série ∑ a n {\displaystyle \sum a_{n}} \sum a_{n} converge absolument, par comparaison de séries positives, les séries ∑ a n + {\displaystyle \sum a_{n}^{+}} \sum a_{n}^{+} et ∑ a n − {\displaystyle \sum a_{n}^{-}} \sum a_{n}^{-} convergent toutes deux, donc par linéarité la série ∑ a n {\displaystyle \sum a_{n}} \sum a_{n} aussi.
Lorsque la série ∑ a n {\displaystyle \sum a_{n}} \sum a_{n} est semi-convergente, nécessairement les deux séries ∑ a n + {\displaystyle \sum a_{n}^{+}} \sum a_{n}^{+} et ∑ a n − {\displaystyle \sum a_{n}^{-}} \sum a_{n}^{-} divergent (chacune a une somme infinie). La convergence se fait donc par compensation entre les termes positifs et négatifs.

La propriété « absolue convergence implique convergence » peut ensuite être étendue aux séries à valeurs complexes en séparant de la même façon parties réelle et imaginaire.
Propriétés des séries absolument convergentes

Si une série à termes réels ou complexes est absolument convergente, elle jouit des propriétés particulières suivantes, valables pour les sommes finies, mais généralement fausses pour les sommes infinies :

Généralisation de la commutativité (voir Convergence inconditionnelle) : la convergence et la valeur de la somme ne dépendent pas de l'ordre des termes. Ainsi, si σ est une permutation de ℕ, la relation suivante est satisfaite :

∑ n = 0 + ∞ a σ ( n ) = ∑ n = 0 + ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }a_{\sigma (n)}=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}} \sum _{{n=0}}^{{+\infty }}a_{{\sigma (n)}}=\sum _{{n=0}}^{{+\infty }}a_{n}

Si la série est seulement semi-convergente, le théorème de Riemann montre qu'un changement de l'ordre des termes peut conduire à une série divergente, ou à une série convergente de somme arbitrairement choisie.

Généralisation de la distributivité : le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes converge, en satisfaisant la relation

( ∑ p = 0 + ∞ a p ) ( ∑ q = 0 + ∞ b q ) = ∑ s = 0 + ∞ ( ∑ n = 0 s a n b s − n ) {\displaystyle \left(\sum _{p=0}^{+\infty }a_{p}\right)\left(\sum _{q=0}^{+\infty }b_{q}\right)=\sum _{s=0}^{+\infty }\left(\sum _{n=0}^{s}a_{n}b_{s-n}\right)} \left(\sum _{{p=0}}^{{+\infty }}a_{p}\right)\left(\sum _{{q=0}}^{{+\infty }}b_{q}\right)=\sum _{{s=0}}^{{+\infty }}\left(\sum _{{n=0}}^{s}a_{n}b_{{s-n}}\right)

Une autre façon d'obtenir ces propriétés pour des sommes infinies est de considérer la notion de famille sommable, très voisine de la propriété d'absolue convergence pour les séries numériques.
Extension aux séries à valeurs vectorielles

Considérons le cadre plus vaste d'un espace vectoriel normé E. Une série à termes vectoriels ∑ a n {\displaystyle \sum a_{n}} \sum a_{n} converge absolument lorsque la série de terme général ∥ a n ∥ {\displaystyle \|a_{n}\|} \|a_{n}\| converge. Sans autre précision, rien ne permet d'affirmer qu'une limite existe dans E1. On peut seulement affirmer que si cette limite existe alors sa norme est majorée par ∑ ∥ a n ∥ {\displaystyle \sum \|a_{n}\|} {\displaystyle \sum \|a_{n}\|}.

Dans un espace de Banach, la convergence absolue d'une série implique sa convergence. Il s'agit en fait d'une équivalence2 : si E est un espace vectoriel normé dans lequel toute série absolument convergente est convergente, alors E est complet.
Intégrale absolument convergente

De même, une intégrale :

∫ A f ( x ) d x {\displaystyle \int _{A}f(x)~{\rm {d}}x} \int _{A}f(x)~{{\rm {d}}}x

converge absolument si l'intégrale de sa valeur absolue correspondante est finie :

∫ A | f ( x ) | d x < ∞ . {\displaystyle \int _{A}|f(x)|~{\rm {d}}x<\infty .} \int _{A}|f(x)|~{{\rm {d}}}x<\infty .

Notes et références

↑ Si E est le ℚ-espace vectoriel ℚ, la série converge dans ℝ mais si la limite est irrationnelle, elle diverge dans E.
↑ Pour une démonstration, voir par exemple le chapitre « Espaces de Banach - Complétude » de la leçon « Espaces vectoriels normés » sur la Wikiversité.

Articles connexes

Convergence normale
Théorème de réarrangement de Riemann

RAPPORT DE
POLICE
LA COATIE
ET
DU
CITOYEN TIGNARD YANIS

51° 30′ 10″ N, 0° 07′ 34″ OOSM carte ou Le Cénotaphe est un mémorial situé dans le quartier du Whitehall à Londres.

Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel muni d'une norme.

Cette structure mathématique développe des propriétés géométriques de distance compatible avec les opérations de l'algèbre linéaire. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette notion est basique en analyse et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, avec l'utilisation d'espaces de Banach tels que les espaces Lp.

Structure générale
Définition
Article détaillé : Norme (mathématiques).

Soit K un corps commutatif muni d'une valeur absolue, et non discret1 (par exemple le corps des réels ou des complexes).

Définition — Un K-espace vectoriel E est dit normé lorsqu'il est muni d'une norme, c'est-à-dire d'une application

N : E → R + {\displaystyle {\mathcal {N}}:E\to \mathbb {R} ^{+}} \mathcal N:E\to\R^+

satisfaisant les hypothèses suivantes :

séparation : ∀ x ∈ E , N ( x ) = 0 ⇒ x = 0 E {\displaystyle \forall x\in E,\ {\mathcal {N}}(x)=0\Rightarrow x=0_{E}} \forall x \in E,\ \mathcal N(x)=0 \Rightarrow x=0_E ;
homogénéité : ∀ ( λ , x ) ∈ K × E , N ( λ x ) = | λ | N ( x ) {\displaystyle \forall (\lambda ,x)\in {\rm {K}}\times E,\ {\mathcal {N}}(\lambda x)=|\lambda |{\mathcal {N}}(x)} \forall (\lambda, x)\in {\rm K}\times E, \ \mathcal N (\lambda x) = |\lambda| \mathcal N (x) ;
sous-additivité (inégalité triangulaire) : ∀ ( x , y ) ∈ E 2 , N ( x + y ) ≤ N ( x ) + N ( y ) {\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},\ {\mathcal {N}}(x+y)\leq {\mathcal {N}}(x)+{\mathcal {N}}(y)} \forall (x,y) \in E^2,\ \mathcal N (x + y) \leq \mathcal N (x) + \mathcal N (y) .

S'il n'y a pas de risque d'ambiguïté, la norme d'un élément x est notée ║x║.

La boule unité (fermée) de E est l'ensemble des vecteurs de norme inférieure ou égale à 1.
Exemples fondamentaux

Le corps K (égal ici à ℝ ou ℂ), muni de sa valeur absolue, est un K-espace vectoriel normé.
Pour tout ensemble non vide X et tout espace vectoriel normé E, l'espace ß(X, E) des applications bornées de X dans E, muni de la norme de la convergence uniforme
∥ f ∥ ∞ = sup x ∈ X ∥ f ( x ) ∥ , {\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in X}\|f(x)\|,} \|f\|_{\infty}=\sup_{x\in X}\|f(x)\|,
est un espace vectoriel normé.
Pour tout espace mesuré (X, Σ, μ) et pour 1 ≤ p ≤ ∞, l'espace Lp(μ) des fonctions mesurables de X dans K (prises à égalité près presque partout) et p-intégrables (ou bornées si p = ∞), muni de la norme p associée, est un espace vectoriel normé. Lorsque μ est la mesure de comptage, on le note plutôt ℓp(X).
Si X est un segment de ℝ ou plus généralement un compact de ℝn, muni de la mesure de Lebesgue, ces espaces Lp induisent les normes usuelles sur les espaces de fonctions continues sur X.
Sur ℓp({1, … , n}), on retrouve les normes usuelles sur Kn.
Si 1 ≤ p < ∞, l'espace ℓp(ℕ), noté simplement ℓp, est l'espace des suites p-sommables x = (xn)n≥0 d'éléments de K, muni de la norme
∥ x ∥ p = ( ∑ n = 0 ∞ | x n | p ) 1 p . {\displaystyle \Vert x\Vert _{p}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }\vert x_{n}\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.} \Vert x\Vert_p=\left(\sum_{n=0}^\infty \vert x_n\vert^p\right)^{\frac1p}.
ℓ∞(X) est l'espace B(X, K) des fonctions bornées de X dans K (donc des suites bornées si X = ℕ).

Remarque. Dans ces exemples, il n'est pas trop difficile de vérifier que la norme 1 ou ∞ est bien une norme. Pour la norme 2, c'est une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour p quelconque, l'inégalité triangulaire, qui porte le nom d'inégalité de Minkowski, est plus cachée.
Sous-espace et espace produit

Tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel normé est normé par la restriction de la norme.

Soit (E, ║∙║E) et (F, ║∙║F) deux espaces vectoriel normés, alors l'application ║∙║E×F définie par l'égalité suivante est une norme sur l'espace vectoriel produit E×F :
∀ ( x , y ) ∈ E × F ∥ ( x , y ) ∥ E × F = max ( ∥ x ∥ E , ∥ y ∥ F ) . {\displaystyle \forall (x,y)\in E\times F\qquad \|(x,y)\|_{E\times F}=\max(\|x\|_{E},\|y\|_{F}).} \forall (x,y) \in E\times F \qquad \|(x,y)\|_{E\times F}=\max(\|x\|_E,\|y\|_F).
Espace quotient

Soit F un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel normé E. On définit l'application ║∙║E/F sur l'espace vectoriel quotient E/F par :
∀ x ∈ E ∥ x ¯ ∥ E / F = d ( x ¯ , F ) = d ( x , F ) = inf u ∈ x ¯ ∥ u ∥ E {\displaystyle \forall x\in E\quad \|{\bar {x}}\|_{E/F}=d({\bar {x}},F)=d(x,F)=\inf _{u\in {\bar {x}}}\|u\|_{E}} \forall x\in E \quad \|\bar x\|_{E/F} =d(\bar x,F)=d(x,F)=\inf_{u\in \bar x} \|u\|_E,

où d est la distance sur E (et sur ses parties) induite par la norme.

Propriété — L'application ║∙║E/F est une semi-norme sur l'espace vectoriel quotient E/F. C'est une norme si et seulement si F est fermé.
[afficher]
Démonstration

D'après les propriétés topologiques du quotient, une application linéaire f de E dans un espace vectoriel normé G est continue si et seulement si l'injection linéaire canonique f de E/ker(f) dans G par laquelle f se factorise l'est (elles ont alors même norme).
Topologie
Topologie d'un sous-espace, produit, quotient

Comme le montre l'article norme, la norme sur un espace vectoriel induit une distance donc une topologie, pour laquelle l'addition et la multiplication externe sont continues, ce qui entraîne de nombreuses propriétés, par exemple : l'adhérence de tout sous-espace vectoriel est un sous-espace vectoriel et (pour un espace vectoriel réel) l'adhérence et l'intérieur d'une partie convexe sont convexes.

Pour tout sous-espace vectoriel F, la topologie induite par celle de l'espace coïncide avec celle issue de sa distance donc de sa norme (restrictions de celles sur l'espace entier) : c'est une propriété générale des espaces métriques et de leurs sous-espaces.

La configuration est la même pour le produit de deux espaces E et F. Pour la norme ║∙║E×F définie précédemment, les boules de centre (x, y) et de rayons r > 0 (qui constituent une base de voisinages de (x, y) pour la topologie associée à cette norme) ne sont autres que les B(x, r)×B(y, r), donc constituent également une base de voisinages pour la topologie produit. Remarquons l'adéquation de la définition de ║∙║E×F à partir de ║∙║E et ║∙║F, qui pouvait a priori sembler arbitraire. Mais signalons que la même topologie sur E×F est obtenue en posant ║(x, y)║E×F = N(║x║E, ║y║F) où N est une norme quelconque sur ℝ2, par exemple l'une des normes usuelles mentionnées plus haut. Ceci est dû au fait que N est toujours équivalente à la norme max utilisée ici.

La situation reste analogue pour un quotient E/F. En effet, si φ est la projection canonique de E dans E/F, une base de voisinages de φ(x) pour la topologie quotient est constituée des φ(B(x,r)) (pour r > 0), qui coïncident exactement avec les boules (dans E/F, pour la semi-norme induite) de centre φ(x) et de rayon r.

Ainsi, la topologie induite sur un sous-espace, un produit d'espaces ou un quotient coïncide avec celle issue de la norme induite (ou de la semi-norme induite, dans le cas d'un quotient par un sous-espace non fermé).
Opérateur borné

Un opérateur borné entre deux espaces vectoriels normés est simplement une application linéaire continue. Cette double appellation est justifiée par la proposition suivante :

Proposition2 — Soient E et F deux K-espaces vectoriels normés. Pour une application linéaire f de E dans F, les propriétés suivantes sont équivalentes :

f est continue ;
f est continue en 0 ;
l'image par f de toute boule de centre 0 (donc de toute partie bornée) est bornée ;
l'image par f la boule unité fermée est bornée ;
∃ K ≥ 0 ∀ x ∈ E ∥ f ( x ) ∥ ≤ K ∥ x ∥ {\displaystyle \exists K\geq 0\quad \forall x\in E\quad \|f(x)\|\leq K\|x\|} {\displaystyle \exists K\geq 0\quad \forall x\in E\quad \|f(x)\|\leq K\|x\|} ;
f est lipschitzienne ;
f est uniformément continue.

La norme d'opérateur d'un tel f est la plus petite constante C telle que f soit C-lipschitzienne.

Si une application linéaire f de E dans F est continue, alors son noyau est fermé (car c'est l'image réciproque du fermé {0} par l'application continue f). La réciproque est fausse (on construit même facilement des injections linéaires non continues). Cependant, si f est de rang fini et de noyau N fermé alors f est continue (en effet, elle se factorise alors par une application f de E/N dans F qui est continue, car linéaire sur un espace vectoriel normé de dimension finie).

Dans l'espace vectoriel L(E, F) des applications linéaires de E dans F, le sous-espace vectoriel de celles qui sont continues se note ℒ(E, F). La norme d'opérateur en fait un espace vectoriel normé.
Complétude
Articles détaillés : Espace complet et Espace de Banach.

Un espace vectoriel normé complet porte le nom d'« espace de Banach ». Un espace vectoriel normé n'est pas nécessairement complet, c'est-à-dire que les suites de Cauchy ne sont pas nécessairement convergentes. Par exemple, l'espace préhilbertien engendré par les polynômes trigonométriques n'est pas complet. De manière plus générale :

Proposition 1 — Dans un espace de Banach, il n'existe pas de base (algébrique) infinie dénombrable3.

Le complété d'un espace vectoriel normé4 jouit de propriétés supplémentaires par rapport au complété d'un simple espace métrique :

Proposition 2 — Pour tout espace vectoriel normé E, il existe un espace de Banach Ec et une isométrie linéaire J, de E dans Ec, dont l'image est dense dans Ec.

En général, E est identifié à son image J(E) dans Ec. Ainsi, E apparait comme un sous-espace vectoriel de Ec, et la norme sur E induite par la norme de Ec coïncide avec la norme originelle sur E car J est une isométrie.

Le remplacement d'un espace E par son complété Ec ne modifie pas l'espace des applications linéaires continues de E dans F si F est complet (cette propriété permet de montrer que la proposition précédente caractérise l'espace vectoriel normé Ec à isomorphisme près). Plus généralement :

Proposition 3 — Soient G un espace vectoriel normé, E un sous-espace vectoriel dense et F un espace de Banach. Alors, pour la norme des opérateurs, l'application « restriction », de ℒ(G, F) dans ℒ(E, F), est un isomorphisme isométrique.

La complétude de F se « transmet » à l'espace des applications linéaires continues à valeurs dans F :

Proposition 4 — Soient E et F deux espaces vectoriels normés. Si F est complet alors l'espace ℒ(E, F) muni de la norme des opérateurs est complet.
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Démonstrations
Théorème de Riesz
Article détaillé : Théorème de compacité de Riesz.

Ce théorème stipule que si la boule unité (fermée) d'un espace vectoriel normé E réel ou complexe est compacte, alors E est de dimension finie.

Autrement dit, la boule unité fermée d'un espace vectoriel normé de dimension infinie est toujours non compacte.

Cependant, la boule unité fermée de son dual topologique (de dimension infinie également) est *-faiblement compacte, c'est-à-dire compacte pour la topologie faible-* : voir Théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki.
Cas particuliers
Espace préhilbertien
Article détaillé : Espace préhilbertien.

Un espace est dit préhilbertien s'il dispose d'une norme dérivée d'un produit scalaire, sans être nécessairement complet. (Un espace préhilbertien complet est un espace de Hilbert). Le théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan caractérise ces normes : ce sont celles vérifiant l'identité du parallélogramme. Cette identité est alors encore vérifiée dans le complété, qui est donc naturellement un espace de Hilbert (on peut le voir plus directement en prolongeant continûment le produit scalaire au complété, par continuité de Cauchy ou par identité de polarisation).
Dimension finie
Article détaillé : Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie.

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur le corps K des réels ou des complexes6.

Toutes les normes sur E sont équivalentes (donc définissent la même topologie).
Cette topologie sur E est la seule qui en fasse un espace vectoriel topologique séparé.
Pour toute norme sur E :
toute application linéaire de E dans un espace vectoriel normé quelconque est (uniformément) continue ;
en particulier, E est (uniformément) homéomorphe à Kn ;
E est complet ; en particulier, tout sous-espace E de dimension finie d'un espace vectoriel normé F sur K de dimension quelconque est fermé dans F ;
les parties compactes de E sont les fermés bornés, comme la boule unité fermée.

Notes et références

↑ N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], p. IX.31-32 sur Google Livres.
↑ Pour une démonstration, voir par exemple le § « Continuité des applications linéaires » de la leçon « Espaces vectoriels normés » sur la Wikiversité.
↑ (en) Saminathan Ponnusamy, Foundations of Functional Analysis, CRC Press, 2003 (ISBN 9780849317170, lire en ligne [archive]), p. 294, Theorem 5.103.
↑ Si le corps n'est pas complet, l'espace Ec n'est plus de même nature. Ainsi le complété d'un espace vectoriel de dimension 1 sur le corps des rationnels est isomorphe à l'espace vectoriel des nombres réels sur le corps des rationnels.
↑ Pour une démonstration plus élémentaire, cf. Gustave Choquet, Cours d'analyse, tome II : Topologie, p. 288, exercice 65.
↑ Ou plus généralement, sur un corps « valué » (au sens : muni d'une valeur absolue) non discret localement compact (donc complet).

Voir aussi

Sur les autres projets Wikimedia :

Espaces vectoriels normés, sur Wikiversity

Articles connexes

Application linéaire non continue (en)
Espace localement convexe

Bibliographie

Georges Skandalis, Topologie et analyse 3e année, Dunod, coll. « Sciences Sup », 2001
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Structures algébriques
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Autres Algèbre de Hopf · Espace homogène
Enrichies
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Géométrie différentielle et algébrique Groupe de Lie · Groupe algébrique

Guns n' Roses - You Could Be Mine
https://www.youtube.com/watch?v=CzB5hFINC_k

Notes et références

↑ G.B. Lancaster, « The Glorious Dead », Ashburton Guardian, vol. XL, no 9146,‎ 31 octobre 1919, p. 7 (lire en ligne [archive])
↑ a, b, c et d (en) « BBC - Remembrance - Cenotaph » [archive], BBC (consulté le 3 juillet 2011)
↑ a et b Allan Greenberg, Lutyens's Cenotaph, Journal of the Society of Architectural Historians (JSTOR 990403)
↑ a, b et c Gerard Gliddon et Timothy John Skelton, Lutyens and the Great War, Londres, Frances Lincoln, 2008 (ISBN 978-0-7112-2878-Cool, « Southampton and London: A Tale of Two Cenotaphs », p. 36–47
↑ a, b, c, d, e, f et g « Flags on the Cenotaph »(Archive • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?) (consulté le 25 mars 2013)
↑ Holland and Hannen and Cubitts Ltd., Cubitts: its inception and development, Londres, Holland & Hannen and Cubitts Ltd., 1920, p. 10
↑ (en) « Whitehall Cenotaph »(Archive • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?) (consulté le 25 mars 2013)
↑ (en) « Inflation Calculator » [archive], Bank of England (consulté le 3 juillet 2011)
↑ (en) « The Unknown Warrior » [archive], sur BBC History (consulté le 3 juillet 2011)
↑ (en) The Burial of the Unknown Warrior [archive], Martin Hornby, The Western Front Association, 7 juillet 2008, consulté le 25 juillet 2011.
↑ The Western Front Association [archive]
↑ (en) « Centenary News: First World War News and Articles » [archive], sur centenarynews.com (consulté le 26 janvier 2015)
↑ « All London Silent at Armistice Hour », The New York Times,‎ 12 novembre 1919 (lire en ligne [archive])
↑ (en) Regimental Church and Collect [archive], The Royal Tank Regiment Association, consulté le 5 octobre 2011
↑ Regimental Day [archive], The Royal Tank Regiment Association, consulté le 5 octobre 2011
↑ The history of the Association - today [archive], Combined Irish Regiments Old Comrades Association, consulté le 5 octobre 2011
↑ (en) The history of the Association [archive], Combined Irish Regiments Old Comrades Association, consulté le 5 octobre 2011
↑ http://www.rtbf.be/info/belgique/detail_cenotaphe-de-londres-le-prince-joachim-defile-en-armes?id=6468453 [archive]
↑ (en) « The Cenotaph in Whitehall » [archive], RAF Habbaniya Association (consulté le 3 juillet 2011)
↑ (en) « Brief Information on Proposed Grade 1 Items » [archive] [PDF], Leisure and Cultural Services Department, Hong Kong (consulté le 3 juillet 2011)

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « The Cenotaph, Whitehall » (voir la liste des auteurs).

L'UNIVERS OU Théorème de réarrangement de Riemann

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Théorème de réarrangement de Riemann
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En mathématiques, le théorème de réarrangement de Riemann est un théorème, nommé en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann, d'après lequel si une série à termes réels est semi-convergente, alors on peut réarranger ses termes pour qu'elle converge vers n'importe quel réel, ou même tende vers plus ou moins l'infini. Il en résulte que dans ℝ, toute série inconditionnellement convergente est absolument convergente (autrement dit : toute famille sommable est absolument sommable).

Sommaire

1 Énoncé
2 Exemple
3 Démonstration
3.1 Remarque préliminaire
3.2 Construction de la permutation
3.3 Convergence
4 Généralisation
5 Références

Énoncé

Soit (un)n∈ℕ une suite à termes réels dont la série associée est semi-convergente, c'est-à-dire que
( 1 ) ∑ k = 0 n u k ⟶ n → ∞ ℓ ∈ R mais ( 2 ) ∑ k = 0 n | u k | ⟶ n → ∞ + ∞ , {\displaystyle (1)\quad \sum _{k=0}^{n}u_{k}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\ell \in \mathbb {R} \quad {\text{mais}}\quad (2)\quad \sum _{k=0}^{n}|u_{k}|{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}+\infty ,} {\displaystyle (1)\quad \sum _{k=0}^{n}u_{k}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\ell \in \mathbb {R} \quad {\text{mais}}\quad (2)\quad \sum _{k=0}^{n}|u_{k}|{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}+\infty ,}

et soit
α ∈ R ∪ { − ∞ , + ∞ } . {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}.} {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}.}

Alors il existe une permutation σ de ℕ telle que
∑ k = 0 n u σ ( k ) ⟶ n → ∞ α . {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\alpha .} {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}u_{\sigma (k)}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\alpha .}
Exemple

Prenons l'exemple de la série harmonique alternée. On définit donc une suite (un)n∈ℕ par
∀ n ∈ N , u n = ( − 1 ) n n + 1 , {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n+1}},} {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n+1}},}

dont la série converge d'après le critère de convergence des séries alternées, mais ne converge pas absolument car la série harmonique diverge. Notons ℓ sa somme (on la connaît : ℓ = ln(2)).

En réarrangeant les termes, la série devient :

( 1 − 1 2 − 1 4 ) + ( 1 3 − 1 6 − 1 8 ) + ( 1 5 − 1 10 − 1 12 ) + … + ( 1 2 k − 1 − 1 4 k − 2 − 1 4 k ) + … {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}\right)+\ldots +\left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{4k-2}}-{\frac {1}{4k}}\right)+\ldots } {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}\right)+\ldots +\left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{4k-2}}-{\frac {1}{4k}}\right)+\ldots }
= ( 1 2 − 1 4 ) + ( 1 6 − 1 8 ) + ( 1 10 − 1 12 ) + … + ( 1 4 k − 2 − 1 4 k ) + … {\displaystyle =\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}\right)+\ldots +\left({\frac {1}{4k-2}}-{\frac {1}{4k}}\right)+\ldots } {\displaystyle =\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}\right)+\ldots +\left({\frac {1}{4k-2}}-{\frac {1}{4k}}\right)+\ldots }
= 1 2 ( 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + … ) = ℓ 2 . {\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots \right)={\frac {\ell }{2}}.} {\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots \right)={\frac {\ell }{2}}.}

Conclusion : la permutation choisie est telle que la nouvelle série converge vers la moitié de la somme de la série de départ.

En généralisant le procédé, on peut faire converger un réarrangement de cette série vers n'importe quel nombre réel α :

Par exemple en sommant alternativement (dans l'ordre) a termes positifs et b termes négatifs (la série alternée elle-même correspond à a = b = 1 et le cas précédent correspond à a = 1 et b = 2), on obtient une série qui converge vers ln(2√a/b), d'après le développement suivant, quand n tend vers l'infini, de la somme de p = an termes positifs et q = bn ou b(n – 1) termes négatifs, qui utilise un développement asymptotique de la suite Hn des sommes partielles de la série harmonique :
∑ k = 1 p 1 2 k − 1 − ∑ k = 1 q 1 2 k = ( H 2 p − H p 2 ) − H q 2 = ln ⁡ ( 2 p ) + γ − ln ⁡ ( p ) + γ 2 − ln ⁡ ( q ) + γ 2 + o ( 1 ) = ln ⁡ ( 2 p / q ) + o ( 1 ) ⟶ n → ∞ ln ⁡ ( 2 a / b ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{p}{\frac {1}{2k-1}}-\sum _{k=1}^{q}{\frac {1}{2k}}&=\left(H_{2p}-{\frac {H_{p}}{2}}\right)-{\frac {H_{q}}{2}}\\&=\ln(2p)+\gamma -{\frac {\ln(p)+\gamma }{2}}-{\frac {\ln(q)+\gamma }{2}}+o(1)\\&=\ln(2{\sqrt {p/q}})+o(1)\\&{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\ln(2{\sqrt {a/b}}).\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{p}{\frac {1}{2k-1}}-\sum _{k=1}^{q}{\frac {1}{2k}}&=\left(H_{2p}-{\frac {H_{p}}{2}}\right)-{\frac {H_{q}}{2}}\\&=\ln(2p)+\gamma -{\frac {\ln(p)+\gamma }{2}}-{\frac {\ln(q)+\gamma }{2}}+o(1)\\&=\ln(2{\sqrt {p/q}})+o(1)\\&{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\ln(2{\sqrt {a/b}}).\end{aligned}}}

Plus généralement, en choisissant alternativement pn termes positifs et qn termes négatifs avec pn/qn → r = e2α/4, la somme du réarrangement sera, de même, ln(2√r) = α.
Démonstration

On suppose ici que α appartient à ℝ.
Remarque préliminaire

Posons
∀ n ∈ N , a n = max ( u n , 0 ) = u n + | u n | 2 et b n = min ( u n , 0 ) = u n − | u n | 2 . {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ a_{n}=\max(u_{n},0)={\frac {u_{n}+|u_{n}|}{2}}\quad {\text{et}}\quad b_{n}=\min(u_{n},0)={\frac {u_{n}-|u_{n}|}{2}}.} {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ a_{n}=\max(u_{n},0)={\frac {u_{n}+|u_{n}|}{2}}\quad {\text{et}}\quad b_{n}=\min(u_{n},0)={\frac {u_{n}-|u_{n}|}{2}}.}

On a alors, d'après (1) et (2),
( 3 ) ∑ k = 0 n a k ⟶ n → ∞ + ∞ et ∑ k = 0 n b k ⟶ n → ∞ − ∞ . {\displaystyle (3)\quad \sum _{k=0}^{n}a_{k}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}+\infty \quad {\text{et}}\quad \sum _{k=0}^{n}b_{k}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}-\infty .} {\displaystyle (3)\quad \sum _{k=0}^{n}a_{k}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}+\infty \quad {\text{et}}\quad \sum _{k=0}^{n}b_{k}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}-\infty .}
Construction de la permutation

On construit une permutation σ de ℕ de la façon suivante. On commence à sommer les termes positifs ou nuls (sans en omettre) jusqu'à dépasser α (possible d'après (3)). Puis on somme tous les termes strictement négatifs jusqu'à ce que la somme partielle soit strictement inférieure à α (possible d'après (3)). Puis on itère le procédé, en sommant les termes positifs à partir de là où on s'était arrêté, puis les termes négatifs, etc. On a bien construit une permutation.
Convergence

Notons (xn)n∈ℕ la suite des sommes partielles obtenues à chaque fin de sommation de termes positifs, et (yn)n∈ℕ celle des sommes partielles à chaque fin de sommation de termes négatifs. La suite complète des sommes partielles croît jusqu'à x0, puis décroît jusqu'à y0, puis croît jusqu'à x1, etc. Pour montrer qu'elle converge vers α, il suffit donc de montrer que les deux sous-suites (xn) et (yn) convergent vers α.

Or si ukn désigne le dernier terme de la somme partielle xn, on a par construction :
x n − u k n ≤ α < x n donc 0 < x n − α ≤ u k n . {\displaystyle x_{n}-u_{k_{n}}\leq \alpha <x_{n}\quad {\text{donc}}\quad 0<x_{n}-\alpha \leq u_{k_{n}}.} {\displaystyle x_{n}-u_{k_{n}}\leq \alpha <x_{n}\quad {\text{donc}}\quad 0<x_{n}-\alpha \leq u_{k_{n}}.}

Comme la suite des indices kn est strictement croissante, elle tend vers l'infini donc, d'après (1),
lim n → ∞ u k n = lim k → ∞ u k = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }u_{k_{n}}=\lim _{k\to \infty }u_{k}=0.} {\displaystyle \lim _{n\to \infty }u_{k_{n}}=\lim _{k\to \infty }u_{k}=0.}

Ceci prouve que la suite (xn) converge vers α. On procède de même pour (yn), ce qui achève la preuve.
Généralisation
Article détaillé : Théorème de réarrangement de Steinitz.

Ernst Steinitz a démontré que pour toute série semi-convergente à termes dans un espace vectoriel réel de dimension finie, l'ensemble des sommes des « réarrangements » qui convergent forme un sous-espace affine de dimension non nulle.
Références

Bernhard Riemann, « Histoire des recherches relatives à la représentation par une série trigonométrique d'une fonction donnée arbitrairement », dans Stephen Hawking, Et Dieu créa les nombres : les plus grands textes de mathématiques, Dunod
(en) Mikhail I. Kadet︠s︡ (en) et Vladimir M. Kadet︠s︡, Series in Banach spaces: conditional and unconditional convergence, Birkhäuser, coll. « Operator Theory, Advances and Applications » (no 94),‎ 1997 (ISBN 978-3-76435401-5, lire en ligne [archive]), chap. 2, § 1 (« Steinitz's Theorem on the Sum Range of a Series »), p. 13-20

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